Matematicas

jueves, 16 de abril de 2020

Minimo Común Multiplo

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el número más pequeño que es múltiplo de a y múltiplo de b.
Para denotar el mínimo común múltiplo de a y b escribiremos m.c.m.(a, b) ó mcm(a, b).

Ejemplo:

Vamos a calcular el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Para ello, escribimos los primeros múltiplos de 4 y de 6:

Recordad que los múltiplos se obtienen multiplicando.

Entre los 6 primeros múltiplos de 4 y de 6, los números 12 y 24 son múltiplos de ambos (son múltiplos comunes).

Tenemos que quedarnos con el mínimo.

Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12:

Descomposición en números primos

Recordamos cómo descomponer números para escribirlos como un producto de números primos, lo cual facilitará el cálculo del mínimo común múltiplo.

Podemos escribir cualquier número como producto de potencias de números primos. Por ejemplo,

Para descomponer un número dividimos el número sucesivamente entre números primos hasta llegar a 1.

La descomposición es el producto de las potencias de los números primos, siendo sus exponentes el número de veces que hemos dividido por dicho primo.

Obtención del mcm

Regla para calcular el mcm:

«Bases comunes y no comunes al mayor exponente»

Método:

Descomponemos los números en números primos (producto de potencias de primos).
El mínimo común múltiplo es el producto de todas las potencias que aparecen en las descomposiciones,
pero si alguna de las bases aparece en ambas descomposiciones, escogemos la de mayor exponente.

Ejemplo:

Calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324.

Sus descomposiciones son:

El mínimo común múltiplo tendrá las potencias de base 5, de base 3 y de base 2.

la potencia de base 2 tiene el exponente 2 en las dos descomposiciones, así que escribiremos $2^{2}$
la potencia de base 3 tiene los exponentes 2 y 4. Nos quedamos con el mayor: $3^{4}$
la potencia de base 5 sólo aparece en una de las descomposiciones, pero este hecho es irrelevante.

Por tanto, el mínimo común múltiplo de 180 y 324 es

El procedimiento anterior puede resumirse como comunes y no comunes al mayor exponente, lo que significa que el mcm es el producto de todas las potencias que aparecen en una o en ambas descomposiciones («comunes y no comunes») pero cuyo exponente sea el mayor.

También, podemos calcular el mínimo común múltiplo de más de dos números. Para ello, usamos la misma regla: comunes y no comunes al mayor exponente.

EJERCICIOS

Ejercicio 1

El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es...

	6
	12

Ejercicio 2

El mínimo común múltiplo de 9 y 15 es...

	15
	30
	45

Ejercicio 3

El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4 es...

	6
	12
	24

Ejercicio 4

El mínimo común múltiplo de 4 y 8 es...

	4
	8
	32

Ejercicio 5

El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 5 es...

	6
	15
	30

Ejercicio 6

El mínimo común múltiplo de 12 y 18 es...

	18
	36
	216

Ejercicio 7

El mínimo común múltiplo de 3, 27 y 81 es...

	81
	243
	6561

Ejercicio 8

El mínimo común múltiplo de 10, 100 y 1000 es...

	10
	100
	1000

Ejercicio 9

El mínimo común múltiplo de 20 y 30 es...

	60
	200
	300

Ejercicio 10

El mínimo común múltiplo de 5⁵ y 5¹⁰ es...

	5⁵
	5¹⁰
	5¹⁵

Ejercicio 11

El mínimo común múltiplo de dos números primos es...

	1
	El producto de los dos primos.
	El número primo mayor.

Ejercicio 12

El mínimo común múltiplo es 1 cuando...

	Los dos números son primos.
	Los dos números son iguales.
	Los dos números son el 1.

Ejercicio 13

El mínimo común múltiplo de dos números...

	Es siempre par.
	Nunca es un número primo porque es un múltiplo.
	Es divisible entre los dos números (de los cuales es el mcm).

Ejercicio 14

Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 4...

	Los dos números tienen que ser el 4.
	Uno de los números es el 2 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.
	Uno de los números es el 4 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.

Ejercicio 15

Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 10, entonces...

	Los dos números son pares.
	Al menos uno de los números es par.
	Ninguno de los números es par.

Ejercicio 16

Calcular el menor número divisible por 12 y por 21.

Ejercicio 17

Amir va a entregar las invitaciones para su cumpleaños en un sobre (en cada sobre una invitación).

En la tienda, las cajas de invitaciones son de 15 unidades y las cajas de sobres son de 20 unidades.

Calcular el número mínimo de cajas de cada producto para que haya el mismo número de invitaciones y de sobres.

Ejercicio 18

Fernando visita a su mamá cada 20 dias, Santiago lo hace cada 45 dias y Manuel lo hace cada 60 dias,

si hoy coincidieron ¿Cuantos dias tienen que pasar para que se vuelvan a encontrar?

Ejercicio 19

Isabel se tiene que tomar una pastilla para el dolor de cabeza cada 8 horas y otra para el dolor de espaldas

cada 6 horas. Si se tomo las dos pastillas a la 1:00pm ¿A que hora vuelve a tomarselas al tiempo?

Ejercicio 20

A lo largo de una carretera de 1000km de longitud se encuentra un telefono cada 40km, un restaurante cada 30km y un

puesto de emergencias cada 45km ¿ Cada cuantos km se encuentran juntos...

A.Un telefono y un puesto de emergencias?

B.Un telefono y un restaurante?

C Un restaurante y un puesto de emergencias?

D.Los tre servicios a la vez?

Máximo Común Divisor

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El máximo común divisor (MCD) de dos o más número natural o enteros (no números con decimales) es el número más grande que les divide.

Para descubrir cuáles son los números que les divide existen dos formas: la forma larga y la forma corta. Esto lo explicaremos a través de un ejemplo. Ejemplo:

Forma larga

Máximo común divisor (MCD) de 10 y 20:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Importante: los divisores se sacan dividiendo, es decir, todo número que dividido por el número que estamos analizando de 0 en el resto. Por ejemplo:

10 5

0 2

10 6

4 1

- 6 No sería divisor de 10 porque el resto da 4 y tiene que ser 0.

Una vez sabido que los divisores de 10 y de 20 son:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Vamos a ver cuáles son los números que coinciden que son:

Divisor de 20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

Divisor de 10: 1, 2, 5 y 10.

Divisores de 10 y 20 son: 1, 2, 5 y 10.

El máximo común divisor sería el 10 porque es el número más grande que, a su vez, es divisor de ambos número (10 y 20).

Forma corta

Para número más grandes es más fácil hacer una descomposición en factores primos. Esta descomposición la empezamos siempre con el número más pequeño divisible del número que analizamos. Por ejemplo, para descubrir el máximo común divisor de 40 y 60. Escribimos el número que vamos a descomponer a la derecha (en este caso el 40) y seguidamente trazamos una recta vertical. Será detrás de esta donde colocaremos los factores primos empezando por el más pequeño. Haremos lo mismo con el 60.

En este paso hemos dividido 40:2=20. Ahora buscaremos el mínimo divisor de 20 que es 2 y hacemos lo mismo 20:2= 10. Y seguiremos haciendo lo mismo con todos los anteriores.

¡Truco! Si quieres saber si has hecho bien la descomposición de ffactores primos se puede comprobar multiplicando. Empezando por abajo, multiplicas el último número de la izquierda (multiplicando) con el último de la derecha (multiplicador), el resultado debe ser el número de arriba del multiplicando.

Ejemplo:

El último número es el 5 (multiplicando) el multiplicador será el 1 y el resultado es el 5. Lo mismo pasa si 5 (multiplicando) lo multiplicas por 2 (multiplicador) es igual a 10.

Una vez descompuesto el número 40 sabemos que 40 es divisor de:

MCD de 40 = 2x2x2x5

El mismo proceso seguiremos con el número 60:

Una vez fragmentados ambo

MCD de 60 = 2x2x5x5

Una vez fragmentados ambos números vemos que:

Los divisores de 40 son: 2x2x2x5

Los divisores de 60 son: 2x2x3x5

Observamos cuales son los números que se repiten (los que estan en negrita) y los multiplicamos:

2x2x5= 20

El máximo común divisor de 40 y 60 es 20.

EJERCICIOS

Calcula el máximo común divisor de este grupo de números:

20, 130 y 10

125, 15 y 30

18, 27 y 15

1100, 370 y 1680

PROBLEMAS

1. David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible, ¿cuántos dulces repartirán a cada persona? ¿a cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos?

2. Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?

3. Se tienen 60 lapices, 90 esferos, y 120 borradores y se quieren distribuir paquetes en los que haya estos tres tipos de articulos, ¿Cuál es el máximo número de paquetes que se puede armar usando todos los articulos? ¿Cuantos lapices, esferos y borradoresdeben ir en cada paquete?

4. Un agricultor recoge 96 manzanas, 68 peras y 128 naranjas. Si desea armar cajas de tal forma que en cada una de ellas se encuentre la mayor cantidad posible de frutas, ¿cuantas cajas necesita? ¿cuantas frutas debe de empacar en cada caja?

5. Alejandra desea cortar una tela de 40cm de ancho por 60cm e largo en cuadrados lo mas grandes posibles y sin que sobre tela. ¿Cuanto tiene que medir el ancho de cada cuadrado?

6. Un maestro de obra quiere pegar baldosas cuadradas en una habitacion de 520 cm de largo por 380cm de ancho. Si quiere utilizar el menor numero de baldosas, ¿Qué dimensiones debe de tener cada una para cubrir exactamente el piso de la habitación?

martes, 24 de marzo de 2020

Graficas Estadisticas (Barras, circular y pictogramas)

GRAFICO DE BARRAS

EJEMPLO

Ejemplo 1

Se le pidió a un grupo de personas que indiquen su color favorito, y se obtuvo los resultados de la siguiente tabla de frecuencias:

Elaborar una gráfica de barras a partir de dichos resultados.

Solución:

En el eje horizontal (x), colocamos los valores d-e la variable, es decir, los colores preferidos: negro, azul, amarillo y rojo. En el eje vertical (y), colocaremos la frecuencia. Dado que el problema no indica cuál frecuencia utilizar, absoluta, relativa o porcentual, realizaremos los 3 gráficos.

Veamos primero el diagrama de barras con frecuencia absoluta.

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Resultado de imagen de grafico de barras

EJERCICIOS

1El siguiente diagrama de barras representa el número de alumnos, por color de cabello, de la clase de Mario. Completa la tabla con las frecuencias absolutas correspondientes a cada color y responde las preguntas que se plantean:

Color de cabello	Frecuencia
Rubio
Pelirrojo
Moreno

¿Qué tipo de cabello predomina en la clase?

Predomina el cabello

¿Cuántos estudiantes son pelirrojos?

¿En total, cuántos estudiantes hay en clase de Mario?

2El siguiente diagrama de barras contabiliza las notas de los alumnos de una clase de una clase de 3º ESO. Completa la tabla y responde a las preguntas:

Nota	Frecuencia
Insuficiente
Suficiente
Bien
Notable
Sobresaliente

¿Qué nota es la más común?

¿Cuántos estudiantes han suspendido la asignatura?

Han suspendido estudiantes.

¿Cuántos estudiantes han aprobado la asignatura?

Han aprobado estudiantes.

¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Hay estudiantes.

GRAFICO CIRCULAR

Gráfico circular

Es un gráfico usado para representar frecuencias, porcentajes y proporciones. Se suele usar con variables cualitativas, ya que con variables cuantitativas puede generar confusiones.

También es llamado, gráfico de pastel, gráfico de torta o gráfica de 360°.

El ángulo central de cada sector, es proporcional a la frecuencia. Se calcula de la siguiente manera, teniendo en cuenta la frecuencia a graficar:

fórmula-ángulo-central-gráfico-de-pastel-torta-circular-3

Ejemplo 3

Con los datos del problema anterior, elaborar un gráfico circular con las frecuencias porcentuales. Recordemos la tabla de frecuencias inicial:

Solución:

Usaremos la frecuencia porcentual. Calculemos el ángulo central de cada sector:

fórmula-ángulo-central-gráfico-de-pastel-torta-circular-2

Usando el transportador, medimos cada uno de los ángulos centrales, y dibujamos el gráfico.

gráfico-de-torta-gráfico-circular-pastel

EJERCICIOS

Completa las tablas:

1En una clase de 1º ESO de $24$ alumnos se hace una encuesta preguntando a qué dedican su tiempo de ocio. Las respuestas se reflejan en el siguiente diagrama de sectores. Completa la siguiente tabla:

Hobby	Alumnos	Grados
Televisión		${150^{o}}$
Lectura		${75^{o}}$
Deporte		${90^{o}}$
Otros		${45^{o}}$
Total		º

2En un instituto se ha realizado una encuesta a los alumnos de 2º de ESO para saber cuáles son los libros que más les gusta leer, y así poder comprar nuevos libros para la biblioteca. Los resultados son los que se muestran en el siguiente diagrama de sectores. Completa la siguiente tabla y, después, contesta a las preguntas que se te plantean: