MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el número más pequeño que es múltiplo de a y múltiplo de b.
Para denotar el mínimo común múltiplo de a y b escribiremos m.c.m.(a, b) ó mcm(a, b).
Para denotar el mínimo común múltiplo de a y b escribiremos m.c.m.(a, b) ó mcm(a, b).
Ejemplo:
Vamos a calcular el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Para ello, escribimos los primeros múltiplos de 4 y de 6:
Recordad que los múltiplos se obtienen multiplicando.
Entre los 6 primeros múltiplos de 4 y de 6, los números 12 y 24 son múltiplos de ambos (son múltiplos comunes).
Tenemos que quedarnos con el mínimo.
Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12:
Descomposición en números primos
Recordamos cómo descomponer números para escribirlos como un producto de números primos, lo cual facilitará el cálculo del mínimo común múltiplo.
Podemos escribir cualquier número como producto de potencias de números primos. Por ejemplo,
Para descomponer un número dividimos el número sucesivamente entre números primos hasta llegar a 1.
La descomposición es el producto de las potencias de los números primos, siendo sus exponentes el número de veces que hemos dividido por dicho primo.
Obtención del mcm
Regla para calcular el mcm:
«Bases comunes y no comunes al mayor exponente»
Método:
- Descomponemos los números en números primos (producto de potencias de primos).
- El mínimo común múltiplo es el producto de todas las potencias que aparecen en las descomposiciones,
- pero si alguna de las bases aparece en ambas descomposiciones, escogemos la de mayor exponente.
Ejemplo:
Calculamos el mínimo común múltiplo de 180 y 324.
Sus descomposiciones son:
El mínimo común múltiplo tendrá las potencias de base 5, de base 3 y de base 2.
- la potencia de base 2 tiene el exponente 2 en las dos descomposiciones, así que escribiremos
- la potencia de base 3 tiene los exponentes 2 y 4. Nos quedamos con el mayor:
- la potencia de base 5 sólo aparece en una de las descomposiciones, pero este hecho es irrelevante.
Por tanto, el mínimo común múltiplo de 180 y 324 es
El procedimiento anterior puede resumirse como comunes y no comunes al mayor exponente, lo que significa que el mcm es el producto de todas las potencias que aparecen en una o en ambas descomposiciones («comunes y no comunes») pero cuyo exponente sea el mayor.
También, podemos calcular el mínimo común múltiplo de más de dos números. Para ello, usamos la misma regla: comunes y no comunes al mayor exponente.
EJERCICIOS
Ejercicio 1
El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es...
6
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12
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Ejercicio 2
El mínimo común múltiplo de 9 y 15 es...
15
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30
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45
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Ejercicio 3
El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 4 es...
6
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12
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24
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Ejercicio 4
El mínimo común múltiplo de 4 y 8 es...
4
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8
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32
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Ejercicio 5
El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 5 es...
6
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15
| |
30
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Ejercicio 6
El mínimo común múltiplo de 12 y 18 es...
18
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36
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216
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Ejercicio 7
El mínimo común múltiplo de 3, 27 y 81 es...
81
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243
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6561
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Ejercicio 8
El mínimo común múltiplo de 10, 100 y 1000 es...
10
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100
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1000
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Ejercicio 9
El mínimo común múltiplo de 20 y 30 es...
60
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200
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300
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Ejercicio 10
El mínimo común múltiplo de 55 y 510 es...
55
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510
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515
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Ejercicio 11
El mínimo común múltiplo de dos números primos es...
1
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El producto de los dos primos.
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El número primo mayor.
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Ejercicio 12
El mínimo común múltiplo es 1 cuando...
Los dos números son primos.
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Los dos números son iguales.
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Los dos números son el 1.
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Ejercicio 13
El mínimo común múltiplo de dos números...
Es siempre par.
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Nunca es un número primo porque es un múltiplo.
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Es divisible entre los dos números (de los cuales es el mcm).
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Ejercicio 14
Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 4...
Los dos números tienen que ser el 4.
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Uno de los números es el 2 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.
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Uno de los números es el 4 y el otro puede ser el 1, el 2 ó el 4.
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Ejercicio 15
Si el mínimo común múltiplo de dos números es el 10, entonces...
Los dos números son pares.
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Al menos uno de los números es par.
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Ninguno de los números es par.
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Ejercicio 16
Calcular el menor número divisible por 12 y por 21.
Ejercicio 17
Amir va a entregar las invitaciones para su cumpleaños en un sobre (en cada sobre una invitación).
En la tienda, las cajas de invitaciones son de 15 unidades y las cajas de sobres son de 20 unidades.
Calcular el número mínimo de cajas de cada producto para que haya el mismo número de invitaciones y de sobres.
Ejercicio 18
Fernando visita a su mamá cada 20 dias, Santiago lo hace cada 45 dias y Manuel lo hace cada 60 dias,
si hoy coincidieron ¿Cuantos dias tienen que pasar para que se vuelvan a encontrar?
Ejercicio 19
Isabel se tiene que tomar una pastilla para el dolor de cabeza cada 8 horas y otra para el dolor de espaldas
cada 6 horas. Si se tomo las dos pastillas a la 1:00pm ¿A que hora vuelve a tomarselas al tiempo?
Ejercicio 20
A lo largo de una carretera de 1000km de longitud se encuentra un telefono cada 40km, un restaurante cada 30km y un
puesto de emergencias cada 45km ¿ Cada cuantos km se encuentran juntos...
A.Un telefono y un puesto de emergencias?
B.Un telefono y un restaurante?
C Un restaurante y un puesto de emergencias?
D.Los tre servicios a la vez?
